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一、序列傅里叶变换共轭对称性质 推论二、证明推论一一、序列傅里叶变换共轭对称性质 推论
推论一 :序列 x(n)x(n)x(n) 的 共轭序列 x∗(n)x^*(n)x∗(n) 的 傅里叶变换 :
x∗(n)⟷SFTX∗(e−jω)x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega}) x∗(n)⟷SFTX∗(e−jω)
推论二 :原序列为 x(n)x(n)x(n) , 则 x∗(−n)x^*(-n)x∗(−n) 的 傅里叶变换 :
x∗(−n)⟷SFTX∗(ejω)x^*(-n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{j \omega}) x∗(−n)⟷SFTX∗(ejω)
二、证明推论一
证明推论一 :序列 x(n)x(n)x(n) 的 共轭序列 x∗(n)x^*(n)x∗(n) 的 傅里叶变换 :
x∗(n)⟷SFTX∗(e−jω)x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega}) x∗(n)⟷SFTX∗(e−jω)
根据 傅里叶变换的公式 :
SFT[x(n)]=X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnSFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}SFT[x(n)]=X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
以及共轭的性质 :
(a+b)∗=a∗+b∗( a + b )^* = a^* + b^*(a+b)∗=a∗+b∗
x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换为 :
SFT[x(n)]=X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnSFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}SFT[x(n)]=X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
x∗(n)x^*(n)x∗(n) 的傅里叶变换为 :
SFT[x∗(n)]=∑n=−∞+∞x∗(n)e−jωnSFT[x^*(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) e^{-j \omega n}SFT[x∗(n)]=n=−∞∑+∞x∗(n)e−jωn
将共轭提取到外部 , e−jωne^{-j \omega n}e−jωn 就变成 ejωne^{j \omega n}ejωn 了 , 可得到 :
SFT[x∗(n)]=∑n=−∞+∞x∗(n)e−jωn=[∑n=−∞+∞x(n)ejωn]∗SFT[x^*(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) e^{-j \omega n} = [ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{j \omega n} ] ^*SFT[x∗(n)]=n=−∞∑+∞x∗(n)e−jωn=[n=−∞∑+∞x(n)ejωn]∗
最终得到 :
x∗(n)⟷SFTX∗(e−jω)x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega}) x∗(n)⟷SFTX∗(e−jω)
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