陶哲轩实分析 3.4

3.4.1

设 V 在f−1的象为 M。

V在 f 的逆象为N。

证明M=N 相当于证明 M⊆N,N⊆M 。

根据定义：

M={f−1(y):y∈V}

N={x∈X:f(x)∈V}

∀xn∈N, 设 yn=f(xn)

由f−1 的定义可知 f−1(yn)=xn 并且有 yn∈V

所以 xn∈M

所以 N⊆M

∀xm∈M，由 M 的定义可知，∃ym∈V满足 f−1(ym)=xm

由f−1 的定义可知 f(xm)=ym∈V

所以 xm∈N

所以 M⊆N

所以 M=N

3.4.2

设 f(S)=U={f(x):x∈S}

f−1(f(S))=f−1(U)={x∈X:f(x)∈U}

∀x∈S 有 x∈X 和 f(x)∈U

所以有 f−1(f(S))⊇S

设 U 的Y的子集。

设 S=f−1(U)

S=f−1(U)={x∈X:f(x)∈U}

也就是说∀x∈S 有 f(x)∈U

f(f−1(U))=f(S)={f(x):x∈S}

∀y∈f(f−1(U)) 有 y∈{f(x):x∈S}

因为前面已知：∀x∈S 有 f(x)∈U

所以y∈U

所以 f(f−1(U))⊆U

3.4.3

证明 f(A∩B)⊆f(A)∩f(B)

f(A∩B)⊆f(A)

f(A∩B)⊆f(B)

所以：

f(A∩B)⊆f(A)∩f(B)

证明 f(A)∖f(B)⊆f(A∖B)

f(A)∖f(B)={x∈f(A):x∉f(B)}

∀y0∈f(A)∖f(B) 都存在一个对应的x0∈A 满足y0=f(x0)。

同时这个x0∉B ，否则 f(x0)∈f(B)与 ∀y0∈f(A)∖f(B) 矛盾。

所以这个 y0∈{f(x):x∈A∖B}=f(A∖B)

所以 f(A)∖f(B)⊆f(A∖B)

证明 f(A∪B)=f(A)∪f(B)

∀y0∈f(A∪B) 都存在一个对应的 x0∈A∪B 满足 f(x0)=y0。

所以 x0∈A 或者 x0∈B ，所以 y0∈f(A) 或者 y0∈f(B)

所以 y0∈f(A)∪f(B)

所以 f(A∪B)⊆f(A)∪f(B)

∀y0∈f(A)∪f(B) ,那么 y0∈f(A) 或 y0∈f(B)

所以存在一个对应的 x0 满足y0=f(x0) 并且 x0∈A 或者 x0∈B

所以 x0∈A∪B

所以 y0∈f(A∪B)

所以f(A)∪f(B)⊆f(A∪B)

所以f(A)∪f(B)=f(A∪B)

3.4.4

f−1(U∪V)={x∈X:f(x)∈U∪V}

所以 ∀x0∈f−1(U∪V) 有 f(x0)∈U∪V，所以 f(x0)∈U 或者 f(x0)∈V

所以x0∈f−1(U)∪f−1(V)

所以 f−1(U∪V)⊆f−1(U)∪f−1(V)

∀x0∈f−1(U)∪f−1(V) 有 x0∈f−1(U) 或者 x0∈f−1(V)

所以 f(x0)∈U 或则 f(x0)∈V

所以f(x0)∈U∪V

所以 x0∈f−1(U∪V)

所以 f−1(U)∪f−1(V)⊆f−1(U∪V)

所以 f−1(U∪V)=f−1(U)∪f−1(V)

证明 f−1(U∩V)=f−1(U)∩f−1(V)

∀x0∈f−1(U∩V) 有 f(x0)∈U∩V

所以 f(x0)∈U 同时 f(x0)∈V

所以 x0∈f−1(U) 同时 x0∈f−1(V)

所以 x0∈f−1(U)∩f−1(V)

所以 f−1(U∩V)⊆f−1(U)∩f−1(V)

∀x0∈f−1(U)∩f−1(V) 有 f(x0)∈U 同时 f(x0)∈V

所以f(x0)∈U∩V

所以 x0∈f−1(U∩V)

证明 f−1(U∖V)=f−1(U)∖f−1(V)​

∀x0∈f−1(U∖V) 有f(x0)∈U∖V

所以 f(x0)∈U 同时 f(x0)∉V

所以 x0∈f−1(U) 同时 x0∉f−1(V)

所以 x0∈f−1(U)∖f−1(V)

所以 f−1(U∖V)⊆f−1(U)∖f−1(V)

∀x0∈f−1(U)∖f−1(V),We have x0∈f−1(U) and x0∉f−1(V)

so f(x0)∈U and f(x0)∉V

then f(x0)∈U∖V

then x0∈f−1(U∖V)

所以 f−1(U∖V)=f−1(U)∖f−1(V)

3.4.5

f:X→Y，证明f(f−1(S))=S 对每一个 S⊆Y 都成立的充分必要条件是f 是满射。

先证明充分性:f(f−1(S))=S对每一个 S⊆Y 都成立可导出 f 是满射

反证法：假设f不是X→Y 的满射，也就是至少存在一个 y0∈Y, ∀x∈X 都有 f(x)≠y0。

那么构造一个 S={y0}, 显然 f(f−1(S))≠S

所以f(f−1(S))=S 对每一个 S⊆Y 都成立可导出 f 是满射

再证明必要性:f是满射可导出f(f−1(S))=S 对每一个 S⊆Y 都成立。

设U=f−1(S)={x∈X:f(x)∈S} , f(U)={f(x):x∈U}

所以 f(U)⊆S

因为f 是满射，所以对任意的y0∈S都能找到一个 x0∈X 满足 f(x0)=y0

由 U 的定义可知,x0∈U, 所以 y0∈F(U)

所以 S⊆f(f−1(S))

所以 S=f(f−1(S)) 对每一个 S⊆Y 都成立。

3.4.6

证明引理 3.4.9: 设 X 是集合,那么集合 {Y:Y是X的子集} 是一个集合

设 A={0,1} 那么 AX 是一个集合.

这个 集合的每一个元素f把X的一个子集映射到 1. 也就是说 f−1(1) 是X 的子集. 所以{f−1(1),f∈AX}是一个集合.

3.4.7

XY 是集合,定义一个部分函数: f:X′→Y′, 证明全体部分函数构成一个集合.

全体 Y′ 构成了一个集合 2Y, 全体 X′ 构成了一个集合 2X

设 x0∈2X,y∈2Y , 那么 从x0到y0 的全体函数可以构成一个集合yx0.

那么固定 x0 ,由并公理可以构造一个集合Ax0={yx0:y∈Y}

再次运用并公理,可以构造一个集合 {Ax0:x0∈X}

这个集合就是全体部分函数构成的集合.

3.4.8

证明双并公理可以由单双元素集公理和并公理推导出来.

给定任何两个集合 A 和B. 由单双元素集公理可知存在一个集合 C={A,B}

由并公理可知存在一个集合 ∪C, 元素x满足 x∈Aorx∈B

3.4.9

证明 {x∈Aβ:∀α∈I,x∈Aα}={x∈Aβ′:∀α∈I,x∈Aα}

∀x0∈{x∈Aβ:∀α∈I,x∈Aα} 有 x0∈Aβ′ 同时,∀α∈I,x0∈Aα

所以 x0∈{x∈Aβ′:∀α∈I,x∈Aα}

同理∀x0∈{x∈Aβ′:∀α∈I,x∈Aα} 有 x0∈{x∈Aβ:∀α∈I,x∈Aα}

所以 {x∈Aβ:∀α∈I,x∈Aα}={x∈Aβ′:∀α∈I,x∈Aα}

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