在读论文过程中，发现当作者通过数学建模构建了其自变量和因变量的表达式之后，在模型求解阶段，会关心其单调性、极值、衰减因子，而后在模型检验阶段通过实验来验证求解的性质或者推论等，这也可以在论文中发表，于是对数学分析这个过程非常好奇，参考《陶哲轩实分析》和《网络中信息传播:信息源选择与检测的若干关键问题研究》论文。目前所学习到的东西

1 从定义和公理可以推导很多定理、引理、推论，而数学分析就是强调这一过程，解决写论文时含糊不清的字眼，词汇。

2 研究对象包括实数、实数序列、实数级数以及实值函数，这些对象在处理各种问题时候大量出现。

3 作为计算机的学生，当我们在论文中看到某个理论时，我们更为关注的是该理论的定义、性质、应用、限制、原理，我们可能就是理论的搬运工，但这也非常的考验我们抽象问题、融会贯通的能力。

1 引言

1.1 什么是分析

分析学是对实数、实数序列、实数级数以及实值函数进行严格研究的学科，并且着力于对这 些对象做出准确的定性和定量分析。实分析是微积分学的理论基 础，而微积分是我们在处理函数时所用到的计算规则的集合。

1.2 为什么要做分析？

为了让你明白数学工具的原理以及知道其限制条件和优点，什么情况能用，什么情况不能用。

更重要的其实是将自己所遇到的问题构造（转化）为数学能够解决的问题，一方面我们有必要对自己研究方向的遇到的各种问题了如指掌，另一方面就是不断学习新的数学工具。

2 从头开始：自然数

考虑最本质的问题，比如我写1+1，你为什么马上就反应其等于2，我们对于数字的敏感在于我们对其的加法法则已经根深蒂固的了解，但是如果让你证明1+1=2，似乎是一件很难的事情。

2.1 皮亚诺公理

首先给出一个自然数的非正式定义，然后再基于这个定义给出皮亚诺公理，而后询问一个存在问题？

作者想要定义自然数这个东西，却发现其需要皮亚诺5个公理才能定义。前面4个其实我觉得是在补全定义自然数有时候出现纰漏的情况，而第5个公理数学归纳法是给予自然数增长不断到无限的保证。

数学归纳法就像一个模板一样，可以套用各种各样的东西进去，其公理长这样，

公理2.5（数学归纳法原理）令P(n) 表示自然数n的任意一个性质， 如果P(0) 为真且P(n) 为真时一定有P(n++)也为真， 那么对于任意自 然数n，P(n) 一定为真。 其中P（n）可以是“n是偶数”“n等于 3”“n是方程的解”，等等。这点非常重要，涉及到你是否能够套用这个定理去解决你的问题。比如搞定某个函数是否单调增、某个数列是否收敛等。

非正式定义了自然数，而后又出给5个公理，在给出非正式的自然数集合存在。

2.2 加法

目前我们只有增量运算和少量定理来构成对自然数的定义，那么如何定义加法，并推导出加法交换律、结合律等等呢？

对象（加法）的规律（交换律、结合律）来自于公理、定义（自然数、数学归纳法、增量运算、加法）下的产物。

陶哥这样定义：

定义2.2.1（自然数的加法）令m为一个自然数，我们定义m加上 0 为 0+m:=m。 现在递归地假设我们已经定义了如何把m加上n，那 么我们把m加上n++ 定义为 (n++)+m:=(n+m)++。

由这个再加上两条引理，可证明加法的可交换律。

比如我们要证明1+1=2，那我们必须要定义1，2是什么，+是什么，=是什么。这里1,2是自然数、+表示加法，=表示相等。那么我们必须定义好自然数（2.1节干的事），定义好+（2.2节干的事）。然后才可得1+1=2。

2.3 乘法

3 集合论

3.1 基础知识

还是一样的讨论，定义集合以及上面的一些运算(交集、补集、并集），然后推导其运算律。

3.2

3.3 函数

为了研究分析理论，仅有集合的概念并不是特别有用，我们还需要从 一个集合到另一个集合的函数概念。

3.4 象和逆象

3.5 笛卡尔积

另一个定义在集合上的运算。

3.6 集合的基数

4 整数与有理数

通过引入减法运算，我们从自然数中得到了整数，并且通过引 入除法运算从整数中得到了有理数。

5 实数

通过引入减法运算，我们从自然数中得到了整数，并且通过引 入除法运算从整数中得到了有理数。但是从有理数中得到实数是从一 个“离散的”系统过渡到一个“连续的”系统，而且还需要引入一个略微不同的概念——极限。

数学是环环相扣的，从自然数其上运算，从集合论到其上运算，从自然数+减法到整数，从整数+除法得到有理数，从有理数+极限得到实数。但其全部过程都是在补全数论。就像c语言的各种类型一样。

6 序列的极限

在上一章中，我们把实数定义为有理数（柯西）序列的形式极限，进 而又定义了实数的各种运算。但是，与我们构造整数（最终用实际差 代替了形式差）和有理数（最终用实际商代替了形式商）时所做的工 作不同，我们还没有真正完成构造实数的任务，因为我们从未用真正 的极限 来代替形式极限 。事实上，我们根本还不曾 定义极限。现在我们就来修正这件事。

严格定义极限，

7 级数

在第6章序列极限基础上更近一步，定义级数及其极限。

8

9 R上的连续函数

在前几章中，我们主要研究了序列。序列可以看作是一个从 N到 R的函数，即对每一个自然数n都指定了一个实数an 的映射。然 后我们对这些从 N到 R的函数做了各种各样的事情，例如在无穷大 处取它们的极限（当函数收敛时），或者构造上确界和下确界等，又 或者计算一个序列的全体元素之和（同样要假设级数是收敛的）。 现在我们要研究的不是定义在“离散的”自然数集 上的函数，而是 定义在一个连续系统上的函数，例如定义在实直线 上的函数，或者 定义在像 这样区间上的函数。最终，我们将对这些函 数进行大量运算，包括取极限、求导以及计算积分值。在本章中，我 们主要研究函数的极限以及与之密切相关的连续函数的概念。

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