跟着陶哲轩一起学数学(一): 习题3.1.6: 证明德摩根定律

证明德摩根定律

X / (A U B) = (X \ A) 交 (X \ B)

和

X \ (A 交 B) = (X \ A) U (X \ B)

不妨先设几个数据一下看看定律是否正确:

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 4, 6}

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

易得

A U B为 {1, 2, 3, 4, 6}

X \ (A U B)为 {5}

X \ A为 {5, 6}

X \ B为 {1, 5}

因此(X \ A) U (X \ B)为 {5}

所以X \ (A U B) = (X \ A) 交 (X \ B)

再来看看第二个:

A 交 B为 {2, 4}

X \ (A 交 B)为 {1, 5, 6}

(X \ A) U (X \ B)为 {1, 5, 6}

所以X \ (A 交 B) = (X \ A) U (X \ B)

可以看出上述集合遵守德摩根定律

证明过程

看了<<陶哲轩实分析>>前面部分的证明套路, 个人理解就是进行分类讨论，我们就来讨论X / (A U B)是否为空集：

1.当X \ (A U B)不为空集时且存在元素x属于X \ (A U B):

先看等式左边:

根据差集公理可知x 属于 X且x 不属于 (A U B)

又根据并集公理得x 属于 X且x 不属于 A且x 不属于 B

再看右边:

还记得有这么一个定义:

x 属于 S1 交 S2 <=> x属于S1 且 x 属于S2

所以x 属于 (X \ A) 交 (X \ B)就可以看做是:

x 属于 (X \ A) 且 x 属于 (X \ B)

又由差集定义得:

A \ B := {x 属于 A : x 不属于 B}

可知:

x 属于 X 且 x 不属于 A, x 属于 X 且 x 不属于 B

天啊! 与右式得出的结论相等!

当然这只是X \ (A U B)不为空集时的情况.

2.当X \ (A U B)为空集时

用反证法可知(X \ A) 交 (X \ B)也为空集

综上,X \ (A U B) = (X \ A) 交 (X \ B)成立.

同样， 用刚刚的思想就可以证明等式2，由于篇幅问题，过程就不写了，请读者自行推理!

启示

这几天读了<<陶哲轩实分析>>后， 发现推导过程都离不开公理和定义， 结论都是由公理和定义得出的。所有思考数学问题时，从公理和定义出发， 问题总会被解决!

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