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来源 | 新智元 > 用大语言模型定理证明,加州理工华人一作最新研究可能改变数学未来。
大语言模型,可以用来证明数学定理了!
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「数学天才」陶哲轩曾在一篇博客中称,2026年,AI将与搜索和符号数学工具相结合,成为数学研究中值得信赖的合著者。
这个预言,如今已经成真!
加州理工、英伟达、MIT等机构的学者,构建了一个基于开源LLM的定理证明器。
而这篇论文,或许将改变数学的未来。
大模型研究测试传送门
GPT-4能力研究传送门(遇浏览器警告点高级/继续访问即可):
在此,研究人员提出一个开源平台LeanDojo,提供工具包、基准和模型,为LLM创造了一种定理证明的交互式环境。
数学:首个见证AI重大突破的领域
论文一作杨凯峪表示,公式证明是计算机程序,其正确性可以被验证。
最重要的是,这项研究为解决LLM,在事实性和幻觉方面的缺陷开辟了一条新途径。
因为,定理证明是一种具有严格评价的代码生成形式,根本没有让模型产生幻觉的空间。
英伟达首席科学家Jim Fan激动转发称:见证人工智能实现重大突破的第一个学科,很可能就是数学!
他说:每个人都该读一读数学家陶哲轩的博客。在此博客中,陶预测在2026年,AI将与搜索和符号数学工具相结合,成为数学研究中值得信赖的合著者。
为什么AI的第一个重大突破会在数学?理由如下——
数学可以方便地表示为编码问题
可以通过Lean这样的定理证明器进行严格的验证,而不是依赖经验结果
不需要像生物学和医学这样的物理实验,机器人技术的发展还有待进步
GPT擅长编码,Lean是公式数学的编码语言,还不会出现幻觉。
人工智能数学co-pilots来了。发现新定理的全自动人工智能数学家就是下一个!
有网友称,所以陶哲轩可以被解雇,很容易被取代,不是吗?
LeanDojo究竟有多强?
LeanDojo:定理证明交互式环境
机器学习,特别是大型语言模型,在使用证明助手Lean证明公式定理方面显示出广阔的前景。
LeanDojo其主要特点包括:
提供了用于数据提取和与Lean交互的工具证明中的前提(现有定理)的细粒度标注:使用和定义这些前提的位置LeanDojo Benchmark:97000个人工编写的定理/证明,用于开发定理证明的机器学习模型ReProver(检索增强证明器):第一个基于LLM的证明器,专门增强了前提选择(Premise Selection)的检索
Lean是一个在数学家中非常受欢迎的证明助手工具。
研究团队针对Lean进行了加工和改进,开发出了LeanDojo。它可以从Lean中提炼出人类撰写的证明过程,形成一个数据集。
从而可以通过与Lean的证明环境互动,使得这个训练出来的模型可以用来证明定理。
LeanDojo的工作流程和原理大致如下图所示:
顶部右边:LeanDojo从Lean中提取证明到数据库中,用来训练机器学习模型。
这个流程也可以通过和Lean的证明环境进行交互后让训练好的模型来证明定理。
顶部左边:这是Lean定理的证明树。在这里gcd是最大公约数的意思。
在证明定理时,我们从原始定理作为初始状态(根)开始,并重复应用策略(边)将状态分解为更简单的子状态,直到所有状态都得到解决(叶节点处)。
策略可能依赖于大型数学库中定义的诸如 mod_self 和 gcd_zero_left 之类的前提。
例如,mod_self 是证明中用于简化目标的现有定理 ( n : n a t ) : n % n = 0 (n:nat):n\%n=0 (n:nat):n%n=0
底部:只要给定一个状态,Reprover模型就能从数学库中检索前提,这些前提与状态连接起来,输入到一个作为编码器和解码器的Transformer中以生成下一个策略。
Benchmarks 基准测试
LeanDojo Benchmark:从mathlib中提取的96,962个定理/证明、212,787个策略和128,163个前提。
LeanDojo Benchmark 4:从mathlib4中提取的91,766个定理/证明和177,349个策略。前提信息将很快提供。
LeanDojo可以从Lean中的任何GitHub存储库中提取数据(支持Lean 3和Lean 4)。
这些数据包含原始Lean代码中不直接可见的丰富信息,包括文件依赖项、抽象语法树 (AST)、证明状态、策略和前提。
主要特征 1:前提信息
LeanDojo Benchmark包含前提的细粒度标注(在证明中使用它们以及在库中定义它们),为前提选择(定理证明中的关键瓶颈)提供有价值的数据。
主要特征 2:具有挑战性的数据分割
将定理随机分割到训练/测试中会导致高估模型性能。大语言模型可以通过在训练期间记住类似定理的证明,就可以证明看似困难的定理。
研究人员通过设计具有挑战性的数据分割来缓解这个问题,要求模型基于从未在训练中使用的创新性前提来泛化到定理。
与Lean产生交互
如上图所示,LeanDojo将Lean变成了一个类似体育馆的环境,数学家可以在其中观察证明状态,运行策略来改变状态,并接收有关错误或证明完成的反馈。
这样的一个环境对于评估/部署证明器或通过强化学习进行训练是必不可少的。
实验评估
研究人员使用LeanDojo Benchmark来训练和评估ReProver。
下图展示了10分钟内证明的定理的百分比。每一列代表不同的数据分割。
ReProver的性能优于Lean内置的证明自动化策略(tidy),提供了一个无需检索即可直接生成策略的测试基准。
研究人员采用的另一个基准是使用GPT-4以零样本方式生成策略。
发现新证明&发现公式错误
研究人员采用在miniF2F和FroofNet中的定理来评估ReProver。
他们发现miniF2F中有33个证明,ProffNet中有39个证明在Lean中是不存在的。
与此同时,最新研究还发现了ProofNet定理陈述公式中的多个错误。
详见:/zhangir-azerbayev/ProofNet/pull/14
ChatGPT插件
研究人员还构建了一个LeanDojo的ChatGPT插件,使ChatGPT能够通过与Lean交互来证明定理。
他们具体在三种数学公式上进行了尝试,包括a+b+c=a+c+b,斯特林公式(Stirling’s formula),以及高斯求和公式(Gauss’ summation formula)。
结果发现,专业的定力证明LLM(ReProver)相比,ChatGPT可以将非正式数学与正式证明步骤交叉在一起,类似人类与证明助手的交互方式。
它甚至可以解释Lean的错误信息,并且比专业证明器更容易控制(通过提示工程)。
然而,由于搜索和规划方面的弱点,它在多数情况下很难找到正确的证明。
具体演示如下:
a+b+c=a+c+b
hah
斯特林公式(Stirling’s formula)
hah
高斯求和公式(Gauss’ summation formula)
GitHub上,开发者给出使用演示方法示例:
插件安装成功后,你可以让ChatGPT证明定理,只需告诉它定理的名称和定义。比如:
I want you to prove a theorem in Lean. The theorem’s name ishello_world
, and it is defined in the filesrc/example.lean
in/yangky11/lean-example
. Please explain the theorem to me, lay out a high-level proof plan, and then try various tactics to prove the theorem.
初始化证明搜索可能需要一些时间。
你可以用提示来控制ChatGPT的行为。例如,在尝试任何测术之前,你可以要求它「产生一个高级证明计划」。
网友评论
这个发现是AI在数学领域的最佳应用,找到了一个非常现实的角度让AI能为数学研究做出了贡献。
我们离正式证明所有数学公式的伟大目标又进了一步!
数学证明真的是为大语言模型量身定制地任务,因为结果的有效性是可以完全确保的。
网友们除了狂赞这个项目对于数学研究的加速,纷纷脑洞大开,幻想了很多未来的可能性。
Cue了马老板,数学的飞速发展将使得人类进入一个科幻小说中才存在的世界。
因为数学是科学之母,数学的飞速发展将导致所有的自然科学不断加速。
数学将成为第一个看到人工智能实现重大突破的科学学科,这确实是有道理的。
作者介绍
Kaiyu Yang(杨凯峪)
杨凯峪是加州理工学院计算+数学科学(CMS)系的博士后研究员,导师是Anima Anandkumar。他曾在普林斯顿大学获得了博士学位,导师是Jia Deng,还与Olga Russakovsky和陈丹琦一起工作。
他的研究重点是神经符号人工智能,旨在使机器学习能够进行符号推理。
杨凯峪是两个角度实现目标:(1)将机器学习应用于符号推理任务,如形式逻辑或自然语言中的数学推理和定理证明;(2)将符号组件引入机器学习模型,使其更具可解释性、可验证性和数据高效。
目前,他正在研究能够理解和推理数学的人工智能。数学推理是人类智能的一个重要里程碑,它有可能改变科学和工程中的许多重要问题,比如解决偏微分方程和公式验证。
Alex Gu
Alex Gu是麻省理工学院的博士生,导师是Armando Solar-Lezama。在Armando和Jacob Andreas的指导下,他还在麻省理工学院获得了学士和硕士学位。
Alex Gu曾在Meta AI Research、Jane Street和pony.ai实习。
Peiyang Song
PeiYang Song是加州大学圣巴巴拉分校(UCSB)创意研究学院(CCS)荣誉计算机科学学士候选人。
研究兴趣包括机器学习及其在自然语言处理、计算机视觉中的应用,以及它与计算机架构、编程语言等的交叉。
他最近的研究工作主要在两个方向:1)结合大语言模型(LLM)和交互式定理证明器(ITP)的神经定理证明和自动推理;2)节能机器学习推理的时序逻辑。
参考资料
[1]/[2]/KaiyuYang4/status/1673882824158613504
[3]/DrJimFan/status/1674083328478318594
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