以下内容节选自《陶哲轩教你学数学》第六章，经人民邮电出版社图灵新知授权刊登。问题1：假设某个岛上生活着13只灰色的变色龙，15只棕色的变色龙以及17只深红色的变色龙。当两种不同颜色的变色龙相遇时，它们都会变成第三种颜色（例如，一只棕色变色龙和一只深红色的变色龙相遇后，它们都会变成灰色），而且这是它们唯一的变色机会。请问：岛上所有的变色龙最终是否有可能都变成同一种颜色？
题目中的“最终”一词使得这个问题多少有些开放式问题的味道。这意味着，我们需要确定在变色龙所有可能的颜色组合中是否存在这样一种可能性：全体变色龙具有同一种颜色。
从启发式思维的角度来看，首先应该尝试一下“答案是否定的”这种可能性。如果答案是肯定的，那么就应当存在一系列具体的步骤来实现这个目标。这听起来更像是一个计算方面的问题，而不是数学方面的。此外，这个问题出自数学竞赛，所以我们有理由相信对这个问题的肯定回答是不正确的。因此，我们试着去证明否定的答案。
为了证明这一点，先弄清楚哪些状态是可以实现的以及哪些状态是无法实现的，或许是个不错的主意。一旦找到了其中的规律，也就有了明确的证明目标。正如在前面几章中所看到的那样，想要解决一个数学问题，你通常需要先猜测一个中间结果。这个中间结果可以推导出结论，但它在逻辑上并不与结论等价。虽然从逻辑角度来看你可能需要证明一个更难的问题，但实际上它会提出一个与已知条件更加接近的目标，也会有一个更明确的努力方向。另外一点好处就是，把结论进行推广有助于删除一些无关紧要的信息。
下面给出一个简单的例子。假设在国际象棋棋盘的一个角上放着一个象（象沿对角线移动），我们要证明这个象绝不可能移动到与它相邻的角（即任意一个不与它相对的角）上。不直接证明这个结论， 而是去证明更一般的“该象只能移动到具有相同颜色的方格内”这一结论（棋盘是由黑白交错的方格组成的）。从逻辑角度来看，要证的内容变得更多了，但现在很容易就能看出下一步应该怎么做（象每移动一次都会停留在相同颜色的方格中；因此，不管它怎么移动都无法离开这种颜色的方格）。
不管怎样，我们先引入一些恰当的符号（即一些数字和方程）。在任何给定的时刻，唯一的重要信息只能是灰色变色龙的数量、棕色变色龙的数量以及深红色变色龙的数量（题目的设定不允许变色龙有任何其他额外的颜色）。可以用一个三维向量把上述信息有效地表示出来。于是，变色龙的初始状态就是(13,15,17)；而题目要问的则是，能否通过改变颜色让变色龙达到(45,0,0)、(0,45,0)或者(0,0,45) 的状态。这种改变颜色的操作就是把其中两个坐标分量都减去1，同时把第三个坐标分量加上2。因此，我们将得到一个向量表达式，而它实际上就是一个解决问题的突破口。
（下面给出证明的一个简要轮廓。设a＝(−1,−1,2)，b＝(−1,2,−1)和c＝(2,−1,−1)。此时，两只变色龙相遇就可以表示成把向量a、b和c中的一个加到当前的“状态向量”上。于是，系统所能达到的任何一个状态都必定可以表示成(13,15,17)＋la＋mb＋nc的向量形式，其中l、m和n都是整数。因此，要证明的就是像(45,0,0)这样的向量无法表示成上述形式。这在克莱姆法则和初等丢番图运算中是一件很简单的事情。）
来尝试一种更好的方法。就像前面的概述那样，找出变色龙所有可能的颜色组合。首先，变色龙的总量是保持不变的，但这在本题中没有多大用处（尽管在一些类似的问题中，有时考察总体数量会是个不错的想法）。其次，两只颜色不同的变色龙将“融合”成第三种颜色。我们要重点考察这种融合现象。这类似于把两个水平面高度不同的容器底部连通时它们的水位就会“融合”到中间位置，但两者所容纳的总水量是保持不变的。那么能不能说“颜色总量”保持不变呢？
显然要定义“颜色总量”这个概念，使它能够很好地适用于数学领域。例如，一只灰色的变色龙和一只深红色的变色龙将“融合”成两只棕色的变色龙。如果把灰色的色值设定为0，棕色的色值设定为1，深红色的色值设定为2，那么此时的“颜色总量”就是恒定的（一个0和一个2合并成两个1）。但是，当我们试图融合一只深红色的变色龙和一只棕色的变色龙时，上面这种说法就不成立了。这样看起来，好像找不到一个分值体系能够同时适用于融合的所有三种（甚至两种）可能情况。
造成这种困境的原因在于“融合”操作具有循环性，但也不要因此而彻底放弃！取得部分成功（或部分失败）可能是迈向真正成功的其中一步（那么同样地，对于那些微不足道的成功，也不要太过兴奋）。考察三原色：红色、蓝色和绿色。当一束红光和一束绿光重合时，就得到了一束具有双倍亮度的紫色光，即一束非蓝色的光。这三种原始颜色也是相互循环的。根据这种色光原理，我们能否通过类比得到一些启示呢？这两个问题唯一的本质区别就是，在三原色问题中，红色和绿色合成的是非蓝色，而不是蓝色。但是，等一下！可以利用模运算的方法让蓝色等价于非蓝色。根据这一点，尝试考察(mod 2)的向量：向量以(1,1,1)为开端，要阻止它变成(1,0,0)、(0,1,0)或(0,0,1)。遗憾的是，这种做法行不通。但现在我们已经突破了瓶颈，可以去尝试一下其他模数。我们很快想到了模数3（毕竟，这里循环的颜色有三种）。现在可以采用下述方法中的任何一个来求解问题。
向量方法：初始向量(13,15,17)现在就变成了(1,0,2)(mod 3)；而研究结果显示颜色的改变只能使向量变成(1,0,2)、(0,1,2)和 (1,2,0)，绝不可能产生三个目标向量(45,0,0)、(0,45,0)和(0,0,45)中的任何一个，因为它们都等于(0,0,0)(mod 3)。
颜色总量的方法：之前讨论过的计算“颜色总量”的方法为每种颜色的色值指定了一个数。既然已经想到了模数，那么为什么不利用模运算来设定色值呢？例如，把灰色的色值设定为0(mod 3)，棕色的色值设定为1(mod 3)，深红色的色值设定为2(mod 3)。这种方法是可行的，因为总色值一定能够保持不变（融合的三种可能情况都不会改变总色值——你可以自己试一试）。总色值最初等于13×0＋15×1＋17×2＝1(mod 3)，但我们的三个目标（45个灰色，45个棕色或者45个深红色）的色值都等于0(mod 3)。
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