三角诱导公式 两角和与差 二倍角公式 降幂公式 半角公式 万能公式 积

两角和与差公式：

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \betasin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \betacos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ

tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan (\alpha \pm \beta)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}tan(α±β)=1∓tanαtanβtanα±tanβ​

证：sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \betasin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆，在单位圆中作以下线段

如图中所示，容易看出：sin⁡(α+β)=CF;sin⁡α=AB;cos⁡α=OB;sin⁡β=CD;cos⁡β=OD\sin (\alpha+\beta)=C F ; \quad \sin \alpha=A B ; \quad \cos \alpha=OB ; \quad \sin \beta=C D ; \cos \beta=ODsin(α+β)=CF;sinα=AB;cosα=OB;sinβ=CD;cosβ=OD

则：SΔOCA=12×1×CF=12×1×sin⁡(α+β)S_{\Delta O C A}=\frac{1}{2} \times 1 \times C F=\frac{1}{2} \times 1 \times \sin (\alpha+\beta)SΔOCA​=21​×1×CF=21​×1×sin(α+β)

SΔOCE=SΔOCB−SΔCEBS_{\Delta O C E}=S_{\Delta O C B}-S_{\Delta C E B}SΔOCE​=SΔOCB​−SΔCEB​

=12×OB×CD−SΔCEB=\frac{1}{2} \times O B \times C D-S_{\Delta C E B}=21​×OB×CD−SΔCEB​

=12×cos⁡α×sin⁡β−SΔCEB\quad=\frac{1}{2} \times \cos \alpha \times \sin \beta-S_{\Delta C E B}=21​×cosα×sinβ−SΔCEB​

SΔOAE=SΔOAD+S△AEDS_{\Delta O A E}=S_{\Delta O A D}+S_{\triangle A E D}SΔOAE​=SΔOAD​+S△AED​

=12×OD×AB+S△AED=\frac{1}{2} \times O D \times A B+S_{\triangle A E D}=21​×OD×AB+S△AED​

=12×cos⁡β×sin⁡α+S△AED=\frac{1}{2} \times \cos \beta \times \sin \alpha+S_{\triangle A E D}=21​×cosβ×sinα+S△AED​

SΔOCA=12×1×sin⁡(α+β)=SΔOCE+SΔOAE=(12×cos⁡α×sin⁡β−SΔCEB)+(12×cos⁡β×sin⁡α+S△AED)S_{\Delta O C A}=\frac{1}{2} \times 1 \times \sin (\alpha+\beta)= S_{\Delta O C E}+S_{\Delta O A E}=\left(\frac{1}{2} \times \cos \alpha \times \sin \beta-S_{\Delta C E B})+\left(\frac{1}{2} \times \cos \beta \times \sin \alpha+S_{\triangle A E D}\right)\right.SΔOCA​=21​×1×sin(α+β)=SΔOCE​+SΔOAE​=(21​×cosα×sinβ−SΔCEB​)+(21​×cosβ×sinα+S△AED​)

容易看出, S△ABD=SΔABC=12×AB×BDS_{\triangle A B D}=S_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} \times A B \times B DS△ABD​=SΔABC​=21​×AB×BD ，而 S△ABES_{\triangle A B E}S△ABE​ 是公共三角形, ∴S△AED=S△CEB,\quad \therefore S_{\triangle{AED}}=S_{\triangle{CEB}},∴S△AED​=S△CEB​,

可得到：sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \betasin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

对于sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \betasin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ，只要将 sin⁡(α+β)\sin (\alpha+\beta)sin(α+β) 中的 β\betaβ 唤成 (−β)(-\beta)(−β) 即可。

**二倍角公式:**由和公式，当α=β\alpha = \betaα=β，得到：

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alphasin2α=2sinαcosα

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alphacos2α=cos2α−sin2α

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}tan2α=1−tan2α2tanα​

由于sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1sin2α+cos2α=1，故cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1

降幂公式：由二倍角公式得到

sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2}sin2α=21−cos2α​

cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}cos2α=21+cos2α​

半角公式：由降幂公式令α\alphaα为α2\frac{\alpha}{2}2α​

sin⁡2α2=1−cos⁡α2，cos⁡2α2=1+cos⁡α2\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2} ， \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}sin22α​=21−cosα​，cos22α​=21+cosα​ tan⁡2α2=sin⁡2α2cos⁡2α2=1−cos⁡α1+cos⁡α\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{ \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}tan22α​=cos22α​sin22α​​=1+cosα1−cosα​

tan⁡α2=sin⁡α2cos⁡α2=sin⁡2α2sin⁡α2⋅cos⁡α2=12(1−cos⁡α)12sin⁡α=1−cos⁡αsin⁡α\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1}{2}(1-\cos \alpha)}{\frac{1}{2} \sin \alpha}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}tan2α​=cos2α​sin2α​​=sin2α​⋅cos2α​sin22α​​=21​sinα21​(1−cosα)​=sinα1−cosα​

tan⁡α2=sin⁡α2cos⁡α2=sin⁡α2⋅cos⁡α2cos⁡2α2=sin⁡α1+cos⁡α\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}tan2α​=cos2α​sin2α​​=cos22α​sin2α​⋅cos2α​​=1+cosαsinα​

万能公式：利用二倍角证明，

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α+sin⁡2α=2tan⁡α1+tan⁡2α\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}=\frac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}sin2α=2sinαcosα=cos2α+sin2α2sinαcosα​=1+tan2α2tanα​

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2αcos⁡2α+sin⁡2α=1−tan⁡2α1+tan⁡2α\cos 2 \alpha=\frac{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}=\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}cos2α=cos2α+sin2αcos2α−sin2α​=1+tan2α1−tan2α​

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}tan2α=1−tan2α2tanα​

积化和差公式：由两角和与差公式，sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \betasin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，将sin⁡(α+β)\sin (\alpha + \beta)sin(α+β)与sin⁡(α−β)\sin (\alpha - \beta)sin(α−β)相加，得到sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)]sinαcosβ=21​[sin(α+β)+sin(α−β)]，

将sin⁡(α+β)\sin (\alpha + \beta)sin(α+β)与sin⁡(α−β)\sin (\alpha - \beta)sin(α−β)相减，得到cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)]cosαsinβ=21​[sin(α+β)−sin(α−β)]，

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \betacos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，将cos⁡(α+β)\cos (\alpha + \beta)cos(α+β)与cos⁡(α−β)\cos (\alpha - \beta)cos(α−β)相加，得到cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)]cosαcosβ=21​[cos(α+β)+cos(α−β)]

将cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta)cos(α+β)与cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta)cos(α−β)相减，得到sin⁡αsin⁡β=−12[cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)]\sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)]sinαsinβ=−21​[cos(α+β)−cos(α−β)]

和差化积公式：由积化和差公式sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)]sinαcosβ=21​[sin(α+β)+sin(α−β)]，令x=α+βx=\alpha+\betax=α+β，y=α−βy=\alpha-\betay=α−β，代入替换α\alphaα与β\betaβ， 可得到：

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}sinα+sinβ=2sin2α+β​cos2α−β​

sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}sinα−sinβ=2cos2α+β​sin2α−β​

cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}cosα+cosβ=2cos2α+β​cos2α−β​

cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}cosα−cosβ=−2sin2α+β​sin2α−β​

三角诱导公式 两角和与差 二倍角公式 降幂公式 半角公式 万能公式 积化和差公式 和差化积公式

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