广义加性模型（GAM）

之前介绍过线性模型和广义线性模型，线性模型的意思就是响应变量和解释变量之间服从线性关系，广义线性模型就是指如果能通过一些变换，让原本不服从线性关系的响应变量解释变量，转换成线性关系，那么他们之间就是具有广义线性关系。

除了线性模型和广义线性模型，在回归模型中，我们还介绍了多项式回归、核回归、LOESS、回归样条等等，这些模型可以针对非线性的关系进行拟合，但是，我们有没有想过，这些模型从公式的角度来说，其实本质是相似的。

我们可以拿出几个模型的公式来分析看看，首先是最简单的多项式回归：

yi=β0+β1x11+β2x22+...+βnxnn+eiy_i = \beta_0 + \beta_1 x_1^1 + \beta_2 x_2^2 + ... + \beta_n x_n^n + e_iyi​=β0​+β1​x11​+β2​x22​+...+βn​xnn​+ei​

再来看一下k个节点三次样条的公式：

yi=β0+β1b1(x1)+β2b2(x2)+...+βnbn(xn)+eiy_i = \beta_0 + \beta_1 b_1(x_1) + \beta_2 b_2(x_2) + ... + \beta_n b_n(x_n) + e_iyi​=β0​+β1​b1​(x1​)+β2​b2​(x2​)+...+βn​bn​(xn​)+ei​

还有很多公式，就不再继续在这里列举了。事实上，这些非线性回归模型，都可以归纳为广义加性模型（generalized additive model），都可以写成一下形式：

yi=β0+f1(xi1)+f2(xi2)+...+fn(xin)+eiy_i = \beta_0 + f_1(x_{i1}) + f_2(x_{i2}) + ... + f_n(x_{in}) + e_iyi​=β0​+f1​(xi1​)+f2​(xi2​)+...+fn​(xin​)+ei​

式子中的f可以是任意形式的函数，对每个单独的xin（第i组数据的第n个变量）计算f，最后把结果统一起来预测y。可以看出，其实f选择的不同，广义加性模型就可以变成各种之前提到的模型，比如通过f：

f(xi)=xif(x_i) = x^if(xi​)=xi

这样GAM就变成了多项式回归模型了。

GAM的好处就在于，它是以一种自由度更高的方式去拟合数据，在建模之前并不需要分析出响应变量解释变量之间的关系，特别是像选择回归样条这类能够拟合效果比较好的方法，对响应变量和每个解释变量单独建模，再相加得到GAM，最后再求参数，这样的拟合效果理论上是很强大的。

GAM的一个缺点是没有考虑到解释变量事件的相互作用，这个可以从公式的形式看出来。

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