最近我们被客户要求撰写关于投资组合优化的研究报告，包括一些图形和统计输出。
本文将介绍R中可用于投资组合优化的不同求解器。
通用求解器
通用求解器可以处理任意的非线性优化问题，但代价可能是收敛速度慢。
默认包
包stats（默认安装的基本R包）提供了几个通用的优化程序。
optimize()。用于区间内的一维无约束函数优化（对于一维求根，使用uniroot()）。
f <- function(x) exp(-0.5*x) * sin(10*pi*x)f(0.5)
result <- optimize(f, interval = c(0, 1), tol = 0.0001)result
# 绘制curve(0, 1, n = 200)
optim()通用优化，有六种不同的优化方法。Nelder-Mead：相对稳健的方法（默认），不需要导数。CG：适用于高维无约束问题的低内存优化BFGS：简单的无约束的准牛顿方法L-BFGS-B：用于边界约束问题的优化SANN: 模拟退火法Brent: 用于一维问题（实际上是调用optimize()）。
这个例子做了一个最小二乘法拟合：最小化
# 要拟合的数据点# 线性拟合的l2-norm误差平方 y ~ par[1] + par[2]*x# 调用求解器（初始值为c(0, 1)，默认方法为 "Nelder-Mead"）。optim(par = c(0, 1), f, data = dat)# 绘制线性回归图
# 与R中内置的线性回归进行比较lm(y ~ x, data = dat)
下一个例子说明了梯度的使用，著名的Rosenbrock香蕉函数：
，梯度
，无约束最小化问题
# Rosenbrock香蕉函数及其梯度banana <- function(x)c(-400 * x[1] * (x[2] - x[1] * x[1]) - 2 * (1 - x[1]),200 * (x[2] - x[1] * x[1]))optim(c(-1.2, 1), f_banana)
optim(c(-1.2, 1), f, gr, method = "BFGS")
下面的例子使用了界约束。
最小化
约束：
p <- length(x); sum(c(1, rep(4, p-1)) * (x - c(1, x[-p])^2)^2) }# 25维度约束optim(rep(3, 25), f,lower = rep(2, 25), upper = rep(4
这个例子使用模拟退火法（用于全局优化）。
#全局最小值在-15左右res <- optim(50, f, method = "SANN")
# 现在进行局部改进(通常只改进了一小部分)optim(res$par, f , method = "BFGS")
constrOptim()。使用自适应约束算法，在线性不等式约束下最小化一个函数（调用optim()）。
# 不等式约束(ui %*% theta >= ci): x <= 0.9, y - x > 0.1constrOptim(c(.5, 0)
nlm(): 这个函数使用牛顿式算法进行目标函数的最小化。
nlm(f, c(10,10))
nlminb(): 进行无界约束优化。.
nlminb(c(-1.2, 1), f)
nlminb(c(-1.2, 1), f, gr)
optim
基础函数optim()作为许多其他求解器的包，可以方便地使用和比较。
# opm() 可以同时使用几个方法opm( f , method = c("Nelder-Mead", "BFGS"))
全局优化
全局优化与局部优化的理念完全不同（全局优化求解器通常被称为随机求解器，试图避免局部最优点）。
特定类别问题的求解器
如果要解决的问题属于某一类问题，如LS、LP、MILP、QP、SOCP或SDP，那么使用该类问题的专用求解器会更好。
最小二乘法 (LS)
线性最小二乘法（LS）问题是将最小化，可能有界或线性约束。
线性规划(LP)
函数solveLP()，可以方便地解决以下形式的LP：
最小化：
约束：
#> 加载所需软件包cvec <- c(1800, 600, 600) # 毛利率bvec <- c(40, 90, 2500) # 捐赠量# 运行求解器solveLP(maximum = TRUE)
混合整数线性规划(MILP)
lpSolve（比linprog快得多，因为它是用C语言编码的）可以解决线性混合整数问题（可能带有一些整数约束的LP）。
# 设置问题: # maximizex1 + 9 x2 + x3 # subject to x1 + 2 x2 + 3 x3 <= 9#3 x1 + 2 x2 + 2 x3 <= 15# 运行求解res <- lp("max", f, con)
# 再次运行，这次要求三个变量都是整数lp( int.vec = 1:3)
solution
二次规划 (QP)
可以方便地解决以下形式的QP
最小化：约束：
# 设置问题: # minimize -(0 5 0) %*% x + 1/2 x^T x# subject to A^T x >= b# with b = (-8,2,0)^T# (-4 2 0)# A = (-3 1 -2)# ( 0 0 1)#运行求解solve(Dmat,...)
解决具有绝对值约束和目标函数中的绝对值的二次规划。
二阶锥规划 (SOCP)
有几个包:
ECOSolveR提供了一个与嵌入式COnic Solver（ECOS）的接口，这是一个著名的、高效的、稳健的C语言库，用于解决凸问题。
CLSOCP提供了一个用于解决SOCP问题的一步平滑牛顿方法的实现。
优化基础
我们已经看到了两个包，它们是许多其他求解器的包。
用于凸问题、MIP和非凸问题
ROI包为处理R中的优化问题提供了一个框架。它使用面向对象的方法来定义和解决R中的各种优化任务，这些任务可以来自不同的问题类别（例如，线性、二次、非线性规划问题）。
LP– 考虑 LP:
最大化:
约束：
#> ROI: R 优化基础设施#> 求解器插件: nlminb, ecos, lpsolve, scs.#> 默认求解器: auto.OP(objective = L_objective(c(3, 7, -12)),...,maximum = TRUE)#> 投资回报率优化问题:
# 让我们来看看可用的求解器# solve itres <- ROI_solve(prob)res
MILP– 考虑先前的LP，并通过添加约束条件x2,x3∈Z使其成为一个MILP.
# 只需修改之前的问题types(prob) <- c("C", "I", "I")prob
BLP– 考虑二元线性规划(BLP):
最小化：
约束：
OP(objective = L_objective,..., ,types = rep("B", 5))ROI_solve(prob)#> Optimal solution found.#> The objective value is: -1.01e+02
SOCP– 考虑SOCP:
最大化:
约束:
并注意到SOC约束可以写成或，在代码中实现为：。
OP(objective = L_objective,...,maximum = TRUE)
SDP--考虑SDP:
最小化：
约束：
并注意SDP约束可以写成（大小为3是因为在我们的问题中，矩阵为2×2，但vech()提取了3个独立变量，因为矩阵是对称的）。
OP(objective = L_objective,..., rhs ))
NLP– 考虑非线性规划(NLP)
最大化
约束
OP(objective = F_objective,..., bounds ,maximum = TRUE)
凸优化
R为凸优化提供了一种面向对象的建模语言。它允许用户用自然的数学语法来制定凸优化问题，而不是大多数求解器所要求的限制性标准形式。通过使用具有已知数学特性的函数库，结合常数、变量和参数来指定目标和约束条件集。现在让我们看看几个例子。
最小二乘法– 让我们从一个简单的LS例子开始：最小化
当然，我们可以使用R的基础线性模型拟合函数lm()。
# 生成数据m <- 100n <- 10beta_true <- c(-4:5)# 生成数据res <- lm(y ~ 0 + X) # 0表示我们的模型中没有截距。
用CVXR来做
result <- solve(prob)str(result)
我们现在可以很容易地添加一个限制条件来解决非负的LS。
Problem(Minimize(obj), constraints = list(beta >= 0))solve(prob)
稳健的Huber回归- 让我们考虑稳健回归的简单例子：
最小化
其中
sum(huber(y - X %*% beta, M)Problem(Minimize(obj))solve(prob)
弹性网正则化- 我们现在要解决的问题是：最小化
# 定义正则化项elastic<- function(beta) {ridge <- (1 - alpha) * sum(beta^2)lasso <- alpha * p_norm(beta, 1)# 定义问题并解决它sum((y - X %*% beta)^2) + elastic(beta, lambda, alpha)Problem(Minimize(obj))solve(prob)
稀疏逆协方差矩阵--考虑矩阵值的凸问题：最大化，条件是
log_det(X) - matrix_trace(X %*% S)list(sum(abs(X)) <= alpha)
协方差--考虑矩阵值的凸问题：在的条件下，最大化。
constr <- list(Sigma[1,1] == 0.2, Sigma[1,2] >= 0, Sigma[1,3] >= 0,Sigma[2,2] == 0.1, Sigma[2,3] <= 0, Sigma[2,4] <= 0,Sigma[3,3] == 0.3, Sigma[3,4] >= 0, Sigma[4,4] == 0.1)
投资组合优化--考虑马科维茨投资组合设计：最大化，
Problem(Maximize(obj), constr)solve(prob)
结论
R语言中可用的求解器的数量很多。建议采取以下步骤。
如果是凸优化问题，那么开始进行初步测试。如果速度不够快，使用ROI。如果仍然需要更快的速度，那么如果问题属于定义好的类别之一，则使用该类别专用的求解器（例如，对于LP，推荐使用lpSolve，对于QP则使用quadprog）。然而，如果问题不属于任何类别，那么就必须使用非线性优化的一般求解器。在这个意义上，如果一个局部的解决方案就够了，那么可以用许多求解器的包。如果需要全局求解器，那么软件包gloptim是一个不错的选择，它是许多全局求解器的包。
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