星教师︱汤卫红（清华大学附属小学）
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近些年，“整合数学”受到了前所未有的普遍关注。对此，清华附小已有多年的实践探索。
今天，星宝就与您分享清华附小汤卫红老师及团队的“整合数学”课程的实施路径及案例，希望给有志于此探索的老师们可资借鉴的经验与灵感。
“整合数学”课程可以整合哪些内容？
经过长期实践，清华附小探索形成了两大类课程：“１”指优质落实的国家基础课程，“Ｘ”是以国家课程为原点、根基生长出来的儿童个性课程。“１”与“Ｘ”构成一个整体，形成“１＋Ｘ”结构化的课程群，共同指向儿童的完整发展。
“整合数学”课程的设计包括：生活数学、数-科融合、数学阅读、3C创新实践等。
其中，优化落实的国家基础课程（生活数学、数-科融合）占“整合数学”课程的70%左右，体现国家课程的基础性。由“１”生长出来的儿童个性课程占30%左右，包括学校个性课程（数学阅读、3创新实践中的必选部分）、学生个性课程（3C创新实践中的自选部分）。
三条整合路径，更好地指向素养提升
我们对“整合数学”课程的实施研究分为：学科内渗透式整合、学科间融合式整合、超学科消弭式整合三条路径。
第一条整合路径：学科内渗透式整合
强调数学学科的独特属性和学科价值，充分挖掘学科内在的逻辑、关联，使之更好地发挥学科育人的功能。一是体现数学对培养学生素养的独立价值，但又适当渗透其他学科内容或与生活适当链接。二是打破以往只使用一个版本教材的局限，借鉴其他版本教材，进行整合、优化，发挥各版本教材的优势，使课程实施更富成效。三是打破教材编排结构，根据学生实际情况和发展需要，重新融合，二度转化，实现结构和功能在教育学方向的优化。
１.单元内容的整体优化
例如，二年级《认识人民币》单元，在学生的生活经验及感性认识的基础上，教师可通过一系列熟悉的购物活动，让学生认识各种面值的人民币，解决与人民币有关的、简单的实际问题。教材一步一步地让学生先通过“买文具”认识小面额人民币，再通过“买衣服”认识大面额人民币，最后通过“小小商店”经历购物过程，学会正确使用人民币。
但是，在实际的购物经历中，小面额、大面额、简单解决问题是交融在一起的，并不是分裂的，并且２元、２角、１角、５分、２分、１分的人民币已不在市面上流通，生活中几乎见不到。学生应该学习真实的数学，而不是人为割裂的数学。
基于以上分析，我们将原本一节节分散的学习内容打碎、重构，构建出以“货币与我们”为主题的单元学习内容。
2.领域融通的横向联系
例如，以“单位”为主题的系列复习课，教师可组织“数与代数”领域的整数计数单位、小数计数单位、分数计数单位以及“图形与几何”领域的长度单位、面积单位、体积单位、容积单位，单位之间的进率等相关内容，构建“单位”主题下的内容群，以促进学生加强对“单位”这一度量标准的整体认识。
３.跨段纵贯的思维提升
例如，受长期算术思维的影响，学生往往对等号的认识窄化为等号的程序性质，仅仅理解为单向的“得到”，忽视等号的关系性质，到了高年级就会影响代数思维的形成与发展。
因此，我们整合各阶段与等号相关的内容，融通代数与几何，开发设计基于问题的整合探究微课程，引发学生反思自己对等号的狭隘认识，提出想要探究的问题，通过天平中的平衡、运算中的关系、变量中的关系等活动引导学生矫正认识，形成对等号关系性质的正确认识，并初步渗透方程、函数等思想。
第二条整合路径：学科间融合式整合
１.数学—科技
例如，北师大版五年级下册第86页有这样一道题目：
基于此，我们开发了以“山猫（捕食者）-雪足兔（被捕食者）”问题为主题的数科整合课：将科学的生物捕食问题和数学的统计领域结合起来，用统计表记录生物种群的数量，用复式折线统计图描述生物种群的数量变化等，通过观察、分析、比较，获得种群变化的科学规律。
２.数学—阅读
好的数学阅读能让学生汲取智慧、启迪思考、塑造人格、陶冶情操。我们专门开发了数学阅读课程，形成了《清华附小数学阅读书单》，让课程内容系列化、校本化。
汤卫红：阅读让数学可爱起来（附课程指南）（可点击链接查看）
以一年级第一学期为例，结合教材第二单元“比较”，我们在数学阅读课程中引入绘本《都陵村168号》。绘本描写了孤儿珍珍在邻居阿姨家生活的故事，自然融入三种事物大小、高矮、长短等的比较问题。在阅读中，学生不但感悟事物大小的排序方法，理解事物间的大小关系，而且能够从叔叔阿姨对珍珍的关爱中体会真情，触及内心最柔软的人性关怀。这样的内容既体现了学科的独特属性，又实现了超越，直指儿童的生命成长。
再如，“十进制计数法”是我校数学阅读课程的重要主题。对此，我们进行了螺旋上升的序列安排。一年级阅读绘本《过去的人们是怎么数数的呢》，二年级阅读《宇宙小子》。在此基础上，四年级时，我们将课本中的一段阅读材料加以挖掘、改造和丰富，开发出《从古人计数说起》阅读课。我们让学生经历人类计数历史中的几个关键阶段，体验不同时期计数法的繁与简、趣与美。
３.数学—艺术
第一，从数学中发现、创作艺术元素（作品）；第二，从艺术中寻找数学解释，丰富数学的视角和眼光。
例如，教学六年级《圆》单元第三节《欣赏与设计》时，我们让学生利用圆规在Ａ４纸上进行图案设计，并为自己设计的作品取一个既有诗意又契合主题的名字。这样的目的是希望学生用圆规作图，创造性利用圆的特征、位置关系的变化进行创意设计，在设计中感受对称美、奇异美、和谐美，并互相分析创作的方法，提高学生欣赏和鉴赏美的能力。
第三条整合路径：超学科消弭式整合
超越学科边界，将学生的学习与社会生活、实践打通，在实际生活情境中提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的综合实践创新能力。消弭式整合以真实问题为核心，将数学、科学、工程、技术、艺术等打通，以“主题”为牵引，以儿童发现（创造）为中心，以小课题研究为载体，以实践研究为主要方式，联动生活、社区、社会，综合运用各学科知识解决问题。
例如，以“社区的自然观察”为主题，让学生观察自己居住小区的植物，做一项小区植物大调查，并用淡净的文笔，配合精致的手绘图画下来。在这个过程中，学生体会大自然带给我们的快乐和智慧，感悟自然之美。最后，教师向学生推荐阅读颜展敏所著的《早安！我的植物邻居》。
在自选小课题的研究中，我们更注重根据学生的兴趣，引导学生关注身边的实际问题，并自主形成研究小组。教师在选题讨论、方案论证、实践探究、准备答辩等方面进行指导，构建丰富多样的研究平台。
比如，在六年级第二学期，我们开设毕业研学课程，该课程中很重要的一个项目就是结合研学旅行进行小课题研究。，我们进行了“40年来，后：改革开放的京津冀”的研学旅行。在课程准备阶段，学生和教师一起了解背景、查阅资料、规划路线，确定初步的选题，带着问题踏上考察之旅。
在考察中，以小组为单位，重点走访，仔细询问，与相关人员展开讨论，探讨解决问题的思路，并对给出的方案进行论证。
回到学校后，学生再根据提出的解决问题的方案进一步多方求证，直到满意。以雄安为例，学生形成了以下小课题：雄安能成为下一个深圳吗？雄安千年秀林与气候变化。高科技企业由北京迁址雄安问题与机遇研究。雄安最适合创业的方向是什么？还有的学生就天津港、滨海新区、大宁水库与南水北调等展开系列课题的研究。
整个研究前后持续一个月，学生综合应用数学、科学、信息技术、社会等方面的知识对改革开放、对社会发展、对未来自己的规划等进行了初步的探索与思考，把自己的研究意识、研究水平也推上了新台阶。这样的综合性学习构建了学生全新的学习样态，无疑对学生素养的整体发展是大有裨益的。
三种整合方式的使用要灵活根据单元主题与内容、阶段性的梳理与提炼、与其他学科的主动契合、主题实践活动的整体实施等进行选择、交叉、融合使用，从而更好地指向素养的整体提升。
三年级第一学期“整合数学”课程全内容
以三年级第一学期“整合数学”课程内容为例，呈现统整、重组、优化、重组、开发、融合后的整体安排（见下表）。
生活数学
单元
优化后的内容安排
混合运算
购物（无小括号的混合运算及其应用）
过河（带有小括号的混合运算及应用）
观察物体
观察物体（从不同位置观察两个物体的相互关系）
周长
什么是周长（认识物体表面或平面图形的周长）
长方形周长（求长方形周长）
加与减
捐书活动（三位数连加运算）
运白菜（三位数连减运算）
节余多少钱（三位数加减混合运算）
里程表（一）（0起点的有关里程表的实际问题）
里程表（二）（非0起点的有关里程表的实际问题）
乘与除
小树多少棵（整十、整百数乘一位数的口算）
需要多少钱（两位数乘一位数的口算）
丰收了（整十、整百数除以一位数的口算）
植树（两位数除以一位数的口算）
去游乐园〔两位数乘一位数（一次进位）〕
乘火车〔两、三位数乘一位数（连续进位）〕
去奶奶家（综合运用乘法解决实际问题）
买矿泉水（连乘）
认识小数
文具店（小数的初步认识1）
货比三家（小数的大小比较）
存零用钱（小数的不进位加和不退位减）
寄书（小数的进位加和退位减）
能通过吗（小数的初步认识1）
数学好玩
搭配中的学问（简单的组合问题）
时间与数学（探索共同休息日和日历中的规律）
数—科融合
主题
说明
校园中的树木
从科学课程内容出发，将对身边事物的认识和观察物体、测量等内容整合。
年、月、日
将教材内容与科学课程内容整合，深化对年、月、日本身认识，对天文、历法、历史故事等融通理解。
校园中的小动物
从科学课程内容出发，将对动物的观察研究与四季的认识、数据分析等整合。
天气与统计
从科学课程内容出发，将统计方法、数据分析等整合其中，让科学研究找到数学方法支撑，让数学学习以真实数据收集为素材。
数学阅读
内容
说明
阿拉伯数码
结合本册课本中的加与减、乘与除、混合运算等内容配合安排，了解计数、运算发展史，拓展运算知识和方法。
寻找消失的爸爸（平面和立体）
拓展课本中观察物体内容，发展空间观念。
中国算筹
结合本册课本中的加与减、乘与除、混合运算等内容配合安排，了解计数、运算发展史，拓展运算知识和方法。
神奇的面包机（乘方）
结合本册课本中的加与减、乘与除、混合运算等内容配合安排，了解计数、运算发展史，拓展运算知识和方法。
给我糕点吃，我就不吃你（数列）
结合本册课本中的加与减、乘与除、混合运算等内容配合安排，了解计数、运算发展史，拓展运算知识和方法。
大与小&关于时间的一切（计量、时间）
拓展关于大小、时间的认识，促进正确大小、时间观念的建立，体会时间的周而复始的周期变化。
成为好爸爸（时间）
避开恶猫的方法（图表）
拓展教材内容，经历人类统计的发展过程，促进数据描述水平、数据分析的发展。
游戏中的科学（有趣的游戏与实验）
整本书阅读，适合中年级学生阅读、游戏、实验，动手做，玩中学，学中乐。发展学生探究精神、实践能力和创新意识。
3C创新实践
内容
说明
校园中的测量
优化整合教材内容和校本实践活动，根据学生自主选择研究问题，分组合作进行实践探究，形成研究报告。
足球月历
由教材内容生发，探索十二面体的制作方法，将月、星期等周期现象，手工制作、图案设计、学校文化等整合于实践制作中。
时间的安排
由教材内容拓展、提升，将时间管理、规划安排、记时法、经过时间等以一天的安排为载体，以类似扇形统计图为形式，进行实践探究与创作。
种子的成长
整合科学课程中的种子的发芽，提出问题假设，设计对比实验，用数学方法进行测量、观察、记录，用统计图表、进行描述，形成观察研究报告。
怎样买划算
由教材内容生发，学生提出购买中的最佳省钱问题，设计方案，并通过调查、计算、验证，优化、完善购买方案，提出合理化建议。
值得注意的是，这几种课程形态有时候会以单元内容为基础，有意识地进行2～4种形态的组合，形成微课程群，产生集群的整体育人效应。
以一年级上册的第一单元“生活中的数”为例，我们以“数与我们的生活”为主题，整合了科学，拓展了阅读，优化了3C创新实践，让学生发展数感，了解数的价值和意义，体会人类对计数的不懈追求，感受其在科学记录、实际生活中的应用，使整合发挥系统育人的作用。在此，整合数学形成了以主题为线索，串联成一种新型的综合化课程形态。
小贴士
汤老师将出席星教师小学课程周主题峰会（4月12日-13日）
End
本文综合自琅琅之家微信公号（ID：langlangzj）
编辑丨陈薇
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